幾何級數。 例子來決定

考慮行。

7 28 112 448 1792 ... ...

很清楚地表明它的任何元素比前準確值的四倍。 所以，這個系列是一個進步。

幾何級數 被叫號碼的無限序列，其主要特徵，其中是下列數是由上述通過一些明確的數相乘而得到。 這是由下式表示。

_{的Z 1 =的Z·Q ，}其中z -選定元件的編號。

因此，Z∈N.

9年級 - 當學校進行了研究幾何級數的時間。 例子將有助於理解這個概念：

0.25 0.125 0.0625 ...

2月18日6 ...

基於這個公式中，分母的進展可以發現如下：

既不Q，或b _Z不能是零。 此外，每個元件的 一系列的數字 進展不應為零。

因此，看到若干的下一個數字，用q乘以後者。

要定義這個進程，必須指定其分母的第一要素。 之後，它是有可能找到以下任何成員及其金額。

種類

根據q和一個_1，這是進展分為幾種類型：

• 如果_1，q是大於一，則序列-以幾何級數的每個連續元素增加。 其實例詳述如下。

例如：a ₁ = 3，Q = 2 -大於一，這兩個參數。

然後，數字序列可以寫成：

3 6 12 24 48 ...

• 如果| Q | 小於1，即，它是由分割相當於乘法，與類似疾病的進展 - 遞減幾何級數。 其實例詳述如下。

例如：a ₁ = 6，Q = 1/3 - a ₁是大於一，Q -以下。

然後，數字序列可以寫成如下：

6月2日2/3 ... - 以下的任意元素更多的元素，是3倍。

• 交替。 如果Q <0，則序列交替的數量不斷不管₁的標誌_，和任增加或減少的元素。

例如：a ₁ = -3，Q = -2 -均小於零。

然後，數字序列可以寫成：

3，6，-12，24，...

公式

為了方便使用，也有公式的許多幾何級數：

• 式Z-個任期。 它允許在特定數量的元素的計算而不計算以前的編號。

例如：Q = 3，α= ₁ 4.需要計算一個第四元件進展。

解決方案：A = ₄ 4 ^3·4-1·3 = 4 ³ = 4·27 = 108。

• 第一要素的總和，它的數量等於 ž。 它允許在一個序列的所有元素的總和的於 _Z 包容 的計算 。

≠0，因此，q不為1 - （Q 1） 由於（1-q） 為分母，然後。

注意：當q = 1，則進展將有表示若干無休止的重複數。

量呈指數例子：a ₁ = 2，Q = -2。 計算_S5。

解決方案：S5 _中 = 22 -計算公式。

• 如果金額| q | <1和當z趨於無窮。

例如：a ₁ = _2，Q = 0.5。 查找的總和。

溶液：S _Z = 2×4 =

如果我們計算手動的幾名成員的總和，你會發現它確實是致力於為四個。

小號_Z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0125 + 0.0625 = 3.9375 4

一些特性：

• 一個特徵屬性。 如果以下條件 它適用於任何 Z，然後給出一個數值系列-幾何級數：

的_Z ² = A _Z-1 ·A _{Z + 1}

• 它也是任意數量的平方呈指數通過添加其他兩個數的平方的任何給定行中的裝置，如果它們是從元件等距離。

² _Z = 的_{Z - 噸} ² ₊ 的_Z + _T ^2， 其中 t -這些數字之間的距離。

• 元件 用q 倍 不同 。
• 進展的元件的對數，以及形成的進展，但算術，即，由一定數目的每它們比前一層更的。

的一些經典問題的例子

為了更好地理解什麼是幾何級數，與9級的決定的例子可以提供幫助。

• 條款和條件：a ₁ = _3，3 = 48找出 q。

解決方案：在比之前 常見 更每個連續元件 時間。 有必要通過表達分母通過其他一些元素。

因此_，3 = Q ^_2·1

當代 Q = 4

• 條件：a ₂ = 6，= ₃ 12 -計算S _6的。

解決方法： 要做到這一點，就足以找出q，第一個元素，代入公式。

一個 ₃ = Q·A _2，因此， 當q = 2

一個₂ = Q ·A _1， 因此 a = ₁時 3

S = ₆ 189

• ·A ₁ = 10，Q = -2。 找到發展的第四個元素。

解決方案：它足以通過第一，通過分母來表達第四個元素。

₄一個³ = Q·α= ₁ -80

應用實例：

• 銀行客戶貢獻了1萬盧布的總和，其下每年客戶的本金會增加，雖然它的6％。 多少錢是在4年後的帳戶？

解決方案：初始量等於10萬盧布。 所以，一年的賬戶投資之後將等於10000 + 10000 = 10000·0.06·1.06的金額

因此，一年後也將表現為在帳戶中的金額如下：

（10000·1.06）·10000·0.06 + 1.06 = 1.06·1.06·萬

也就是說，每年的金額增加至1.06倍。 因此，為了找到的帳戶的數目4年後，只要找到一個第四元件進展，這是考慮等於第一元件10萬，分母等於1.06。

S = 1.06·1.06·1.06·1.06·10000 = 12625

在總和的計算問題的例子：

中的各種問題使用幾何級數。 找到的總和的例子可以按如下設置：

一個 ₁ = 4，Q = 2，計算 _S5。

解決方案：所有的計算所必需的數據是已知的，可以替換入公式。

S5 _中 = 124

• 一個 ₂ = 6，= ₃ 18計算第一六個要素的總和。

解決方案：

其GEOM。 比以前的Q倍下一個更大的每個元素的進步，也就是計算量，你需要知道元素 的 _1，分母 Q值。

₂ · Q = ₃

q = 3 的

同樣，需要找到 一個 _1，2，知道 Q值。

₁ · Q = ₂

A ₁ = 2

然後就足夠了已知數據代入公式量。

S ₆ 的 = 728。