線性代數方程的系統。 線性代數方程的均相體系

在學校裡，我們每個人學習的方程和，當然，方程組。 但沒有多少人知道，有幾種方法來解決這些問題。 今天，我們將看到求解線性代數方程組，這是由兩個以上的方程組的系統正是所有方法。

故事

現在我們知道，求解方程及其系統的藝術起源於古巴比倫和埃及。 然而，在他們熟悉的形式平等向我們顯現等號“=”，這是1556年由英國數學家紀錄推出後發生。 順便提一下，被選擇的一個原因這個符號：它意味著兩個平行的相等的段。 事實上，平等的最好的例子不上來。

現代刻字的創始人和未知程度的象徵，法國數學家 Fransua越南。 然而，它的名稱是從今天顯著不同。 例如，一個未知數量的平方通過他字母Q（LAT“quadratus”），這個立方體指定 - （LAT“CUBUS”）字母C。 這些符號現在似乎不舒服，但隨後是寫線性代數方程組的系統中最直觀的方式。

然而，在解決現行方法的缺點是，數學家們只考慮了積極的根源。 也許這是因為事實負值沒有任何實際應用。 這種或那種方式，但首先要考慮的負面根意大利數學尼科洛塔爾塔利亞，杰羅拉莫卡爾達諾和拉斐爾Bombelli在16世紀後開始。 一個現代化的外觀，解決的主要方法 二次方程 （通過判別）通過笛卡爾和牛頓的作品只成立於17世紀。

在18世紀瑞士數學家的中間加布里爾·克拉默找到了新的方法，使線性方程組更容易的系統解決方案。 此方法後，他被後來命名，並以這一天，我們使用它。 但在Kramer的談話稍晚的方法，但現在我們會從系統中分別討論線性方程組和他們的解決方案。

線性方程組

線性方程組 - 用變量（多個）的最簡單的方程。 他們屬於代數。 線性方程 寫成的一般形式如下：a ₁ * X ₁ + A _{2 *} X ₂ + ...和_{n *×n個} = B。 這種形式提交，我們將需要的系統準備和矩陣上。

線性代數方程的系統

這個詞的定義是：一組具有共同的未知和一般解方程。 通常情況下，在學校裡解決了一個系統，兩個甚至三個方程。 但也有四個或更多的組件系統。 讓我們來看看第一個是如何把它們寫下來，這樣以後這是方便解決。 首先，線性代數方程組的系統會更好看，如果所有的變量都寫為x與相應指數：1,2,3等。 其次，應該導致所有方程到規範形式_：1 * X ₁ + A _{2 *} X ₂ + ...和_{n *×n個} = B。

畢竟這些步驟，我們就可以開始告訴你如何找到線性方程組的解。 很為能派上用場的矩陣。

矩陣

矩陣 - 即由行和列的表，而它的元素在它們的交叉點。 這可以是一個特定的值或變量。 在大多數情況下，以指定被佈置下標（例如_，11或₂₃孔）下方的元件。 第一索引指示的行號，和所述第二 - 列。 上述矩陣如上和任何其它數學元件可以執行各種操作。 因此，您可以：

1）中減去，並添加表中的相同的尺寸。

2）乘以矩陣到任何數量或載體。

3）轉置：在列變換矩陣線和列 - 在線路。

4）乘以矩陣，如果行數是等於其中之一不同的列數。

為了詳細討論所有這些技術，因為它們在未來對我們有用。 加法和減法矩陣是非常簡單的。 由於我們採取同樣的尺寸矩陣，一個表中的每個元素是關係到所有其他元素。 因此，我們加（減）兩大這些元素的（重要的是，他們在自己的矩陣站在同一接地）。 當由矩陣或向量的數目乘以你只是乘以矩陣的每個元素由該號碼（或向量）。 換位 - 一個非常有趣的過程。 非常有趣的，有時看到他在現實生活中，例如，改變平板電腦或手機的方向時。 桌面上的圖標是一個矩陣，並用的位置變化，它被轉置和變寬，但在高度上減小。

讓我們來看看更多的過程，如 矩陣乘法。 雖然他告訴我們，是沒有用的，但要注意它仍然是有用的。 乘法兩個矩陣只能的條件下，在一個表中的列的數量等於其他的行數。 下面以一個矩陣線元件和相應的列的其它元件。 他們乘到對方，然後總和（即，例如，元件₁₁和₁₂以及在₁₂和_22b的產物將等於：A * B _{11 12} + ₁₂ * B和_22）。 因此，一個單一的表項，並類似於它的方法進一步填充。

現在我們可以開始考慮如何解決線性方程組。

高斯

這個主題開始發生在學校。 我們非常清楚地知道“兩線性方程組”的概念，並知道如何解決這些問題。 但是，如果方程的數字是多少大於二？ 這將幫助我們 高斯方法。

當然，這種方法很方便使用，如果你做了系統的矩陣。 但是你不能將它和決定自己。

那麼，如何通過線性方程高斯的系統解決呢？ 順便說一句，儘管這種方法和他的名字命名，但在古時候發現了它。 高斯具有與方程進行的操作，以最終導致整體以階梯形式。 也就是說，你需要自上而下（如果正確的地方）從第一個到最後一個方程減退一個未知數。 換句話說，我們需要確保我們已經得到了，說，三個方程：第一 - 三個未知數，在第二 - 兩人在第三 - 一個。 然後，從最後一個方程，我們發現第一個未知的，在第二或第一方程式代替它的價值，並進一步發現剩餘的兩個變量。

克萊姆法則

對於這種技術的發展是至關重要的掌握另外的技能，矩陣的減法，以及需要能夠找到的決定因素。 因此，如果你感到不舒服的這一切還是不知道怎麼回事，就需要學習和培訓。

什麼是這種方法的精髓，以及如何做到這一點，才能得到線性方程組克拉默的系統？ 這是非常簡單的。 我們需要建立數字矩陣（幾乎總是）線性代數方程組的系統的係數。 要做到這一點，簡單地採取未知的數量，我們在它們被記錄在系統中的順序安排表。 如果說之前的數字是一個標誌“ - ”，那麼我們寫負係數。 所以，我們做了未知數的係數的第一矩陣，不包括等號後的數字（當然，這個方程降低到規範形式權當是只是一個數字，左 - 所有係數未知）。 然後，你需要做一些矩陣 - 每個變量。 為了這個目的，在第一矩陣是通過一列與所述係數的每一列號碼等號後更換。 因此，我們得到了幾個矩陣，然後找到自己的決定。

後，我們發現在預選賽中，它的小。 我們有一個初始矩陣，和有幾個來源的矩陣，其對應於不同的變量。 為了得到一個系統解決方案，我們把結果表的決定因素在桌子上的主要決定因素。 將得到的數量是一個可變的值。 同樣，我們發現所有的未知數。

其他方法

有在為了獲得線性方程組的解的幾種方法。 例如，一個所謂的高斯 - 約旦方法，它是用於發現二次方程的系統的解決方案，以及還涉及使用矩陣。 還存在用於求解線性代數方程的系統的雅可比方法。 他很容易適應所有計算機和計算中使用。

複雜的情況下，

複雜性通常會發生，如果方程的數量小於變量的數量。 然後，我們可以肯定地說是，或者系統是不一致的（即，無根），或它的決定數量趨於無窮大。 如果我們有第二種情況 - 這是必要寫線性方程組的系統的總體方案。 這將包括至少一個變量。

結論

下面我們就來結束。 總結：我們要了解什麼樣的系統矩陣，學會找到線性方程組的系統的總體方案。 此外，我們還考慮其他的選擇。 我們想出了如何解決線性方程組：高斯消元法和 克萊姆法則。 我們談到了困難的情況下，尋找解決方案的其他方式。

事實上，這個問題就廣泛得多，如果你想更好地了解它，我們建議您閱讀專業文獻的。