線性和一階的齊次微分方程。 解決方案的例子

我認為我們應該與光榮的數學工具，微分方程的歷史說起。 像所有的微積分，這些公式是由牛頓在17世紀晚期發明的。 他認為這是他的發現很重要，即使是加密的消息，今天可以翻譯為：“用微分方程描述大自然的一切法律。” 這似乎有點誇張，但它是真實的。 物理，化學，生物的任何法律，可以通過這些方程來描述。

以微分方程理論的發展和創造了巨大的貢獻有歐拉和拉格朗日的數學。 早在18世紀，他們發現並開發了現在是在高級的大學課程學習。

在微分方程研究中的一個新的里程碑開始感謝杏裡Puankare。 他創造了一個，其中，與复變函數論結合顯著貢獻的拓撲結構的基礎，“微分方程定性理論” - 的空間及其性質的科學。

什麼是微分方程？

許多人擔心這句話的 “微分方程”。 然而，在這篇文章中，我們將詳細列明這個非常有用的數學工具，它實際上不是，因為它從標題似乎複雜的本質。 為了開始談論一階微分方程，您必須首先結識了，這本身就與此定義相關的基本概念。 我們將與差速器開始。

差動

很多人都知道從高中這個詞。 然而，仍然糾纏於它的細節。 想像一下，該函數的曲線圖。 我們可以把它增加至其任何段變成直線的程度。 這需要兩個點是無限接近對方。 其坐標（x或y）之間的差是極小的。 它被稱為差動和字符表示DY（Y的差分）和DX（x的差分）。 要明白，差別並不是最終的價值是很重要的，這就是意義和主要功能。

現在你必須考慮以下因素，我們將需要解釋微分方程的概念。 它 - 衍生物。

衍生

我們大家都必須在學校這一觀點已經聽到。 他們說，導數 - 是增長或功能降低的速度。 然而，這個定義變得更加撲朔迷離。 讓我們試著解釋差異的導數項。 讓我們回到微小區間函數有兩個點，分別位於在彼此的最小距離。 但是，即使超出此距離函數是時候改變一些價值。 並描述的變化和拿出，否則將被寫為微分的比的導數：F（X）'= DF / DX。

現在有必要考慮衍生品的基本屬性。 只有三個：

1. 衍生物和或差可以表示為導數的和或差：（A + B）'= A'+ B'，和（AB）'= A'-B'。
2. 第二屬性與乘法連接。 衍生作品 - 是一個功能的作品派生的其他的總和：（A * B）'= A'* B + A * B'。
3. 的差的導數可以被寫為如下等式：（A / B）'= （A'* BA * B'）/ B ^2。

所有這些功能就派上用場了尋找解決差一階的方程。

另外，還有一些偏導數。 假設我們有Z，它取決於變量x和y的函數。 為了計算該函數的偏導數，例如，在X中，我們需要採取變量y為恆定，並且容易區分。

積分

另一個重要的概念 - 積分。 事實上，它是衍生物的相反。 積分幾種類型，但微分方程的最簡單的解決方案，我們需要最瑣碎的 不定積分。

那麼， 什麼是積分？ 比方說，我們有一定的關係˚Fx的。 我們從它的積分並獲得函數F（x）（其通常被稱為原語），這是原始函數的導數。 因此F（X）'= F（X）。 這也意味著該衍生物的積分等於原有的功能。

在求解微分方程是非常重要的是了解整體的意義和作用，因為很多時候不得不帶他們找到解決辦法。

該公式依賴於它們的性質是不同的。 在下一節我們將看看類型的一階微分方程，然後學習如何解決這些問題。

微分方程課

“Diffury”由參與它們的衍生物的順序劃分。 因此，存在第一，第二，第三或更多的順序。 它們也可以分為幾類：普通和部分。

在這篇文章中，我們將考慮一階微分方程。 實例和解決方案，我們在下面的章節討論。 我們只考慮TAC，因為它是最常見的類型方程。 普通分為亞種：具有可分離變量，均相和非均相。 接下來，您將了解他們從彼此的區別，並學習如何解決這些問題。

此外，這些方程可以合併，這樣以後我們得到的一階微分方程的系統。 這樣的系統，我們也來看看，並了解如何解決。

為什麼我們只考慮一階？ 因為有必要從一個簡單的和描述所有與微分方程相關聯，在一個單一的文章是不可能的。

具有可分離變量方程

這也許是最簡單的一階微分方程。 這些是可以被寫為實施例為：y'= F（X）* F（Y）。 為了解決這個方程，我們需要的衍生物的表示式為微分的比率為：y'= DY / DX。 有了它，我們得到以下方程：DY / DX = F（X）* F（Y）。 現在，我們可以把解決標準實例的方法：分離變量部分，即快進所有的變量y在有DY的部分，也使變量x ... 我們得到以下形式的公式：DY / F（Y）= F（X）DX，這是通過取兩個部分的積分實現。 不要忘了不斷要整合後放。

任何“diffura”的溶液 - 是由y一個x的函數（在我們的情況下），或者如果有一個數值條件，答案是一個數字。 讓我們看看一個具體的例子決定的整個過程：

Y'= 2Y *的sin（x）

遷移影響的變量在不同的方向：

DY / Y = 2 *的sin（x）DX

現在採取的積分。 所有這些都可以在積分的特殊表中找到。 而我們得到：

LN（Y）= -2 * COS（X）+ C

如果需要，我們可以表示“Y”為“X”的功能。 現在，我們可以說，我們的差分方程的求解，如果未指定狀態。 可以指定的條件，例如，Y（N / 2）= E。 然後，我們將簡單地替換在決定這些變量的值，並找到常量的值。 在我們的例子中，它是1。

均勻一階微分方程

現在到更複雜的部件。 均勻一階微分方程，可以以通用的方式為：y'= Z（X，Y）。 應當指出的是，兩個變量的右功能是一致的，它可以不依賴於可分為兩種：Z X和Y的ž。 檢查是否方程式均勻與否，是很簡單的：我們是替換X = K * x和y = K * Y。 現在，我們削減所有的k。 如果這些信件被刪除，則方程均勻，可以放心地繼續它的解決方案。 展望未來，我們說：這些例子的解決方案的原理也很簡單。

我們需要替代：Y = T（X）* X，其中T - 當然這也取決於X的功能。 然後，我們可以表達衍生物：Y'= T'（x）的* X +噸。 代到所有這些我們原來的公式和簡化它，我們有變量t時的分離為x的例子。 解決它，並獲得T（X）的依賴性。 當我們得到了它，可以替換我們之前的替代Y = T（X）* X。 然後我們得到Y對X的依賴。

為了更清楚，我們應該明白一個例子：X * Y'= YX * E Y / X。

當檢查更換所有下降的。 因此，公式確實是均勻的。 現在再拍替代，我們談到：Y = T（X）* X和Y'= T'（X）* X + T（X）。 簡化後的下式表示：T'（x）的* X = -e噸。 我們決定要帶獨立變量的樣本，我們^{得到：電子-t = LN（C *} X）。 我們只需要通過向t替換為Y / X（因為如果y = T * x，那麼T = Y / X），我們得到了^{答案：電子-y / X = LN（} X * C）。

一階的線性微分方程

現在是時候需要考慮的另一個廣泛的話題。 我們將著眼異質一階微分方程。 他們如何與前兩次有什麼不同？ 讓我們面對它。 在方程的一般形式的線性一階微分方程因此可寫為：y'+ G（X）* Y = Z（x）的。 應當澄清，Z（x）和g（x）可以是恆定的值。

下面是一個例子：Y' - Y * X = X ^2。

有兩種方法來解決，而我們為了讓我們來看看他們兩個。 第一 - 任意常數的變化的方法。

為了解決這樣的方程，有必要向第一右側等同於零，並解決了所得方程，後部分的傳遞變得：

Y'= Y * X;

DY / DX = Y * X;

DY / Y = XDX;

LN | Y | = X ^2/2 + C;

Y = ^{X2ë/ 2} * ^C Y = C ₁ * E ^{X2 / 2。}

現在是需要更換常數C ₁的函數V（X），我們將發現。

Y = V ^{*ëX2 / 2。}

繪製的替代衍生物：

^{Y'= V'* E X2} / ² -x * V * E ^{X2 / 2。}

而以這些表述成原來的公式：

V'* E ^{X2 / 2} - X * V * E ^{X2 / 2} + X * V * E ^{X2 / 2} = X ^2。

你可以看到，在這兩個術語的左側減少。 如果一些例子並沒有發生，那麼你做錯了事。 我們繼續：

V'* E ^{X2 / 2} = X ^2。

現在，我們解決您想要的變量分離通常公式：

的dv / DX = X ^{2 / E×2/2;}

的dv = X ² * E ^{- X2 / 2} DX。

要刪除的積分，我們必須通過零件這裡應用的集成。 然而，這不是本文的主題。 如果你有興趣，你可以學到對自己進行這樣的操作。 這並不難，並且有足夠的技術和謹慎不費時。

參照第二方法不均勻方程的解：伯努利方法。 哪種方法更快，更容易 - 這是給你的。

因此，解決這種方法時，我們需要替換：Y = K * N。 在這裡，k和n - 根據X的一些功能。 然後該衍生物將看起來像：Y'= K'* N + K * N'。 替補兩次換人公式中：

K'* N + K * N '+ X * K * N = X ^2。

組了起來：

K'* N + K *（ N'+為x * n）= X ^2。

現在有必要等同於零，也就是在括號中。 現在，如果將二者結合起來產生的方程式，我們得到一階微分方程的系統來解決：

N'+為x * n = 0;

K'* N = X ^2。

第一個等式決定如何常用公式。 要做到這一點，你需要將這些變量分配：

的dn / DX = X * V;

的dn / N = XDX。

我們採取的積分和我們得到：LN（N）= X ^2/2。 然後，如果我們表達N：

N ^{=ëX2 / 2。}

現在取代結果的方程式進入第二個方程：

K'* E ^{X2 / 2} = X ^2。

和轉化，我們所得到的公式作為第一種方法：

DK = X ^{2 / E×2/2。}

我們也不會討論進一步行動。 據說，在第一一階微分方程溶液引起相當大的困難。 然而，主題更深的沉浸開始變得越來越好。

哪裡微分方程？

在物理學中使用了非常積極的微分方程，因為幾乎所有的基本規律都寫在微分形式，並且這些公式，我們看到 - 解決這些方程。 在化學中，它們被用於同樣的原因：基本規律都通過他們來的。 在生物學中，該微分方程被用於的系統，如捕食的行為進行建模 - 獵物。 它們也可以用來創建複製的模型，例如，微生物菌落。

作為微分方程在生活中幫助？

在這個問題的答案很簡單：沒有。 如果你不是一個科學家或工程師，這是不可能的，他們將是有益的。 然而，不傷害知道微分方程，它是解決了整體發展。 然後一個兒子或女兒的問題：“什麼是微分方程？” 不要把你在一個死胡同。 好吧，如果你是一個科學家或工程師，那麼你就知道這個話題的任何科學的重要性。 但最重要的，現在的問題是“如何解決一階微分方程？” 你隨時都可以給一個答案。 同意，這總是好的當你意識到什麼人都甚至不敢找出來。

該研究的主要問題

在這個主題的理解主要問題是整合和分化功能的壞習慣。 如果你感到不舒服承擔導數和積分，這可能是值得多學習，要學會整合和分化的不同的方法，然後才著手已經在文章中描述了該材料的研究。

有些人驚訝地得知，DX可以轉移，如以前（在學校）認為，分數DY / DX是不可分割的。 然後，你需要閱讀衍生的文學和理解，它是無限量小，可以在解方程被操縱的態度。

許多人沒有馬上意識到，一階微分方程的解 - 這往往是一個函數或neberuschiysya積分，而這個妄想給他們帶來了很大的麻煩。

還有什麼可以進行研究，以更好地理解？

這是最好的開始進一步浸入專門的教科書微積分的世界，例如，在非數學專業學生數學分析。 然後，您可以移動到更專業的文獻。

據說，除了差，還有積分方程，所以你將永遠有東西去爭取，什麼學習。

結論

我們希望看完這篇文章後您將有什麼樣的微分方程，以及如何正確地解決他們的想法。

在任何情況下，以任何方式在生活中對我們有用的數學。 它的發展邏輯和重視，如果沒有這些每一個男人，因為沒有雙手。