麥克勞林和一些功能分解

學習高等數學應該意識到，在一些我們的收斂區間的冪級數的總和，是一個連續的和無限次數分化功能。 問題在於：是否有可能認為，既然一個任意函數f（x） - 是一個冪級數的和？ 也就是說，在什麼條件下F-蒸發散F（X）可以通過一個冪級數來表示？ 這個問題的重要性在於，它有可能取代大約£神F（x）是一個冪級數的第一項數的總和，這是一個多項式。 這樣的替換功能是相當簡單的表達-多項式-是方便和在解決某些問題 在數學分析， 即在計算時求解積分 微分方程 ，等...

實踐證明，對於一些F-II F（X），其中，第（n + 1）階的導數可被計算，包括在其附近的最新（α - R等 X ₀ + R）一個點x =α的公平公式為：

這個公式是著名科學家布魯克·泰勒命名。 許多其從先前的一個導出的，被稱為麥克勞林級數：

這使得它可能的規則產生的麥克勞林級數展開：

1. 確定的第一，第二，第三，...順序的衍生物。
2. 計算什麼是在x = 0的衍生物。
3. 記錄麥克勞林系列該功能，然後才能確定收斂的區間。
4. 確定間隔（-R; R），其中，式麥克勞林的剩餘部分

R _N（X） - > 0對於n - >無窮大。 如果存在的話，它函數f（x）必須等於麥克勞林級數的總和。

現在考慮的麥克勞林系列的各個功能。

1。因此，第一個被F（X）= E ^X。 當然，它們的特性，使f-IA已衍生的各種順序，和^{f（k）的（X）=} E ^x，其中k是等於所有 的自然數。 代入x = 0。 我們得到^{F（k）的（0）=} E ⁰ = 1，K = 1,2 ...基於前述內容，一些E ^X的 這將是如下：

2.麥克勞林級數為函數f（x）=的SiNx。 立即指定的f-蒸發散所有未知數將被衍生的，除了^F'（X）= COS X =的sin（x + N / ^{2），F''（X）=} -sin X =的sin（x + 2 * N / ^{2）...，F（k）的（X）=}的sin（x + N * K / 2），其中k是等於任何正整數。 也就是說，製作簡單的計算，我們可以得出結論，該系列F（X）= SIN x將是這樣的：

3.現在讓我們考慮IJU的F-F（X）= COS X。 它是任意階的所有衍生未知的，並且^{| F（k）的（X）} | = | cos（X + K * N / 2）| <= 1，K = 1,2 ...同樣，它在作出一些計算，我們發現，該系列F（X）= COS x將看起來像這樣：

因此，我們列出了可在麥克勞林級數展開的最重要的特徵，但他們補充了泰勒級數的一些功能。 現在，我們將列出它們。 還應當指出的是，泰勒級數和麥克勞林系列是在高等數學車間一系列決策的重要組成部分。 因此，泰勒級數。

1.首先是一個系列的f-II F（X）= LN（1 + X）的。 如前面的實施例中，為此，我們F（X）= LN（1 + x）的可使用麥克勞林級數的一般形式被折疊的數。 但此功能麥克勞林可以得到更加容易。 集成幾何級數，我們得到F（X）的數= LN（1 + x）的所述樣品的：

2.與第二，這將在本文中被最終，將是F（X）= arctg X A系列。 對於屬於間隔x [-1; 1]是有效的分解：

這就是全部。 在本文中，我調查了高等數學中最常用的泰勒級數和麥克勞林系列，特別是在經濟和技術學院。