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差速器 - 這是什麼？ 如何找到函數的微分？
隨著衍生品 它們的功能 差異 - 它 一些基本概念的微分，的主要部分 的數學分析。 作為有著千絲萬縷的聯繫，他們兩人幾個世紀廣泛用於解決在科學和技術活動過程中出現的幾乎所有的問題。
微分的概念的出現
這是第一次明確提出，這樣的差別，創始人之一（與Isaakom Nyutonom沿）微分著名的德國數學家戈弗里德Vilgelm Leybnits。 在此之前，數學家17世紀。 使用任何已知的功能的一些微小“未分割”的非常不清楚和模糊的概念，代表一個非常小的恆定值，但不等於零，低於該值的功能不能簡單。 因此，它只有一個步驟引入的函數參數和其各自的可在後者的衍生物來表示的功能的增量無窮小增量的觀念。 而採取這一步驟是幾乎同時在上述兩個偉大的科學家。
根據需要，以解決所面臨的科學緊迫的現實力學問題發展迅速的產業和技術，牛頓和萊布尼茨創建尋找變化率的功能的常用方法（特別是相對於已知軌道體的機械速度），而導致引進這樣的概念，作為衍生物功能和差分，並且還發現該算法逆問題的解決方案如本身已知的（可變）速度遍歷以找到導致了積分的概念的路徑 阿拉。
在萊布尼茨和牛頓的想法的作品首次就出現了差異 - 是成正比的基本觀點，增量Δh的增加，可以成功地應用於計算後的數值量Δu功能。 換言之，他們已經發現，一個增量函數可以是在任何點（定義其領域內）通過其衍生物既量Δu= Y'（x）的量Δh+αΔh其中α的Δh表示 - 餘數，趨向於零為Δh的→ 0，比實際的Δh快得多。
根據數學分析的創始人，差速器 - 這正是在任何功能的增量中的第一項。 即使不具有明確定義的限制概念序列直觀地理解的是，衍生物的差動值趨向於功能時的Δh→0 - 量Δu/Δh的→Y'（x）的。
不像牛頓，誰是主要的物理學家，並認為是物理問題研究中的一個輔助工具數學工具，萊布尼茨更注重這個工具包，其中包括視覺和理解數學符號的價值體系。 這是他誰提出微分函數DY的標準符號= Y'（x）的DX，DX，並且該參數的功能及其關係y的衍生物'（X）= DY / DX。
現代定義
什麼是現代數學方面的差別？ 這是密切相關的變量增量的概念。 如果變量y取Y Y = 1的第一值，則Y = y 2，將差Y 2─Y 1被稱為增量值y。
如果該值量Δu任意函數y = f（x）可以被表示為量Δu= A的Δh+α，其中A是上Δh的無依賴性，T。E. A =常數為給定的x，並且術語α時的Δh→0趨於它是速度甚至比實際的Δh，則第一（“主”）的項正比Δh的，並且是對於y = F（X）的差分，表示為 Dy或DF（X）（讀“Y日”，“德從X EFF”）。 因此差速器 - 一個“主”直線相對於增量Δh的功能的組件。
力學的解釋
令s = F（T） -在一條直線上移動的距離 物質點 （ -行程時間t）從初始位置。 增量Δs的 - 是一個時間間隔Δt期間，點方式，差動DS = F'（t）的Δt的 - 這條路徑，這點會被保持相同的時間Δt，如果保留了速度F'（t）的，在時間t達到。 當一個無窮小Δt的DS假想路徑不同於實際Δs的無窮具有相對於Δt的更高階。 如果在時刻t的速度不等於零，則近似值DS給出小的偏置點。
幾何解釋
讓線L為y = F（X）的曲線圖。 然後ΔX = MQ，量Δu= QM'（參見圖下文）。 切線MN打破量Δu切成兩部分，QN和NM“。 第一和ΔH為比例QN = MQ∙TG（角QMN）=Δh的F'（X）中，t的E QN是DY差。
差量ΔuNM'daet─DY，當Δh的→0 NM長度'的速度甚至超過自變量的增加而減小，所述的第二部分，即它具有渺小比Δh的更高的順序。 在這種情況下，如果f'（X）≠0（非平行切線OX）段QM'i QN當量; 換句話說NM'急劇下降（其更高的渺小順序）比總增量量Δu= QM'。 這是圖（接近段M'k中號NM'sostavlyaet所有較小百分比QM'段）明顯的。
因此，圖形化差分任意函數等於切線的縱坐標的增量。
導數與微分
在表達增量函數的第一項的一個因素是等於其導函數f'（X）的值。 因此，下面的關係 - DY = F'（x）的量Δh或DF（X）= F'（x）的量Δh。
已知的是，獨立的自變量的增量等於其差ΔH= DX。 因此，我們可以寫出：F'（x）的DX = DY。
發現（有時說是“決定”）差是由相同的規則的衍生物進行的。 它們的列表如下。
更重要的是普遍的：在參數或其差的增量
這裡有必要作出一些澄清。 表示值F'考慮x作為自變量時（x）的差分的Δh可能的。 但功能可以是一個複雜的，其中x可以是自變量t的函數。 則f'（x）的量Δh的差異表達的表示，作為一項規則，這是不可能的; 除了在+ B線性關係X =的情況下。
至於公式f'（x）的DX = DY，則在獨立的自變量x的在參數的X噸依賴性的情況下的情況下（然後DX =ΔH），它是差分的。
例如，表達2×ΔH為對於y = X 2時，x是一個參數其差分。 我們現在X = T 2，承擔牛逼的說法。 然後Y = X 2 = T 4。
這之後是（T +ΔT）2 = T 2 +2tΔt+ΔT2。 因此ΔH=2tΔt+ΔT2。 因此：2xΔh=2噸2（2tΔt+△2）。
該表達式是不成正比Δt的，並且因此是現在2xΔh沒有差速器。 它可以從方程Y = X 2 = T 4中找到。 它等於DY =4噸3Δt的。
如果我們把表達2xdx，它是任何參數噸差動Y = X 2。 事實上，當x = 2噸獲得DX =2tΔt。
所以2xdx =2噸22tΔt=4噸3 .DELTA.t，噸。E.由兩個不同的變量所記錄的表達差異一致。
更換增量差異
若f'（x）的≠0，則δu和dy當量（當Δh的→0）; 如果f'（X）= 0（含義和dy = 0），它們是不等價的。
例如，如果y = X 2，則δu=（X +ΔH）2─×2 =2xΔh+Δh的2和dy =2xΔh。 如果x = 3，則我們有量Δu=6Δh+Δh的2和dy =6Δh是等效由於Δh的2→0，當x = 0值量Δu=Δh的2和dy = 0是不等價的。
這一事實，與差分的簡單結構一起（米。E.線性相對於ΔH），通常在近似計算中使用，這樣的假設量Δu≈DY為小的Δh。 找到差分功能通常是很容易，計算增量的精確值。
例如，我們具有金屬立方體邊X = 10.00厘米當加熱延長上的Δh= 0.001厘米如何增加的體積立方體V中的邊緣？ 我們有V = X 2，從而使的dV = 3×2 =Δh的3∙∙2月10日0/01 = 3（厘米3）。 增加ΔV等效差分DV，使得ΔV= 3 cm 3以下。 全部計算將給予3ΔV= 10,01─3月10日= 3.003001。 但是，除了第一靠不住的所有數字的結果; 因此，仍然有必要向上舍入到3cm 3。
顯然，這種方法是有用的，只有當它是可能的估計錯誤所賦予的價值。
差分功能：實例
讓我們試著找出函數Y = X 3的差，求導。 讓我們給的說法增加量Δu和定義。
ΔU=（ΔH+ X）3─×3 = 3×2 +Δh的（ΔH3xΔh2 + 3）。
在此，係數A = 3×2不依賴於Δh的，使得第一項是成比例的Δh，其他構件3xΔh的Δh2 + 3 當Δh的→0比下降的說法的增加速度更快。 因此，3×2的Δh的成員是Y = X 3的差動：
DY = 3×2ΔH= 3×2 DX或D（×3）= 3×2 DX。
其中D（×3）/ DX = 3X 2。
的Dy我們現在發現函數y = 1由衍生物/ X。 那麼d（1 / X）/ DX =─1/×2。 因此DY =─的Δh/×2。
差基本代數函數如下。
使用差分近似計算
為了評估函數f（x），和它的導函數f'（x）的在x = a是常困難的，但這樣做在x =一個附近是不容易的。 然後來到近似表達式的幫助
F（A +ΔH）≈F'（a）中的Δh+ F（a）中。
這給出了函數的在小的增量通過其差Δh的F'（a）中的Δh的近似值。
因此，該公式給出用於在長度Δh的的一部分的結束點作為它的值中的部分（X = A），並在相同的起始點差速器的起點的總和函數的近似式。 下面，用於確定該函數的值的方法的準確度示出的附圖。
然而已知的，並且用於通過式有限增量給出的函數X = A +Δh的值的精確表達式（或，可替換地，拉格朗日式）
F（A +ΔH）≈F'（ξ）的Δh+ F（a）中，
其中點x = A +ξ是在從x = a至X = A +Δh的間隔，雖然它的確切位置是未知的。 確切的配方允許評估近似公式的誤差。 如果我們把在拉格朗日式ξ=Δh的/ 2，儘管它不再是準確的，但給出，作為一項規則，在差分方面比原來表達一個更好的方法。
通過應用差分評價式錯誤
測量儀器 ，在原則上，不準確的，並帶來相應的誤差測量數據。 它們通過限制其特徵在於 所述絕對誤差， 正的，清楚地超過絕對值（或者至多等於它）錯誤-或，總之，極限誤差。 限制性的相對誤差被稱為通過將其除以測定值的絕對值而得到的商。
讓用來vychislyaeniyaý確切公式y = F（x）的函數，但是x的值是測量結果，並因此帶來了在y誤差。 然後，找到了限制絕對誤差│Δu│funktsiiY，使用公式
│Δu│≈│dy│=│F'（x）的││Δh│，
其中│Δh│yavlyaetsya邊際錯誤的說法。 │Δu│量必須被向上舍入，如 不準確的計算本身是替換的微分計算的增量。
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